Bang voor wiskunde

Veel mensen die ik ken zijn erg bang voor wiskunde. Een lange formule met veel wortels, exponenten en deelstrepen doet hen met de ogen knipperen en nog binnen dezelfde seconde concluderen ze: “Daar snap ik niks van, hoor!”
Zelf ben ik bijna nooit bang voor wiskunde. Dat komt doordat ik bijzonder plichtsgetrouw ben. Als ik een formule voorgeschoteld krijg en bijvoorbeeld de opdracht krijg om te berekenen waar de buigpunten in de grafiek zitten, dan ga ik braaf differentiëren (en in het geval van buigpunten nog een keer differentiëren) en stel ik de verkregen functie gelijk aan 0. De meeste wiskunde die ik tot nu toe heb meegemaakt is volledig mechanisch en daarom ook erg makkelijk, in die zin dat een computer of een rekenmachine het werk van mij zou kunnen overnemen, en het ook nog eens 1000 keer sneller kan doen…
Naast het plezier dat mensen zoals ik uit deze vrij mechanische vorm van wiskunde halen (vrienden die mij ná het college wiskunde spreken, kunnen dit bevestigen: ik word letterlijk “high” van al die sommetjes), valt er veel meer moois te beleven in Wiskunde Wonderland. Je hoeft maar een klein beetje na te denken en je komt al tot de meest bizarre inzichten. Enkele daarvan wil ik met jullie delen - als je ze zelf nog niet had gehad…

In de eerste plaats is het natuurlijk erg interessant om na te denken over wat getallen precies zijn. Staan zij voor bepaalde hoeveelheden in de wereld? In dat geval zou de hoeveelheid natuurlijke getallen (1, 2, 3, etc.) wellicht eindig zijn, want er is maar een beperkte hoeveelheid atomen in de wereld, dus getallen groter dan die hoeveelheid zouden dan nergens meer voor kunnen staan.
Zijn getallen dan onze eigen bedenksels? Hebben ze niks met de wereld te maken, maar bestaan ze alleen in onze gedachten? Ook dit lijkt niet helemaal te kloppen. Getallen lijken in een eigen wereld te bestaan, en zijn zeker niet aan fysische veranderingen in de hersenen onderhevig. Een voorbeeld is weer het bestaan van de natuurlijke getallen. Als dat eenmaal is aangenomen (of: als die eenmaal zijn bedacht), heeft dit al zo veel gevolgen, dat moeilijk kan worden geaccepteerd dat ze alleen in onze eigen gedachten bestaan. Niemand had bijvoorbeeld van tevoren kunnen bedenken dat puur uit het bestaan van de natuurlijke getallen ook het bestaan van priemgetallen zou volgen (zijnde getallen groter dan 1 die door geen enkele ander natuurlijk getal deelbaar zijn dan zichzelf en 1).
De vraag hoe getallen precies bestaan (wat hun “ontologische” status is) wil ik maar even negeren verder. Het staat namelijk andere mooie inzichten in de weg.
Zo valt er nog een heleboel te denken over de verschillende soorten getallen die er zijn. Laten we eerst in gedachten een getallenlijn voor ons nemen, zoals waar we vroeger op school ook mee hebben gewerkt. Een horizontale lijn met een 0 in het midden. Links van de 0 staat -1, -2, -3, etc. en rechts van de 0 staat 1, 2, 3, etc.
Per definitie zijn natuurlijke getallen alleen de positieve gehele getallen (en 0 wordt er maar bij genomen), maar deze getallenlijn geeft nu de gehele getallen inclusief de negatieve getallen weer. Het is duidelijk dat deze lijn zich in principe tot in de oneindigheid uit zou kunnen strekken. Elke keer als je een enorm getal zou noteren op de lijn (186.876.156.546 bijvoorbeeld), dan kun je er altijd 1 bij optellen, zodat je een nóg groter getal hebt. Datzelfde geldt uiteraard voor de negatieve wederhelft. Je kunt noch een grootste, noch een kleinste getal verzinnen. De hoeveelheid gehele getallen, evenals de hoeveelheid natuurlijke getallen, is dus oneindig.
Maar laten we nu eens inzoomen op een klein gedeelte van onze getallenlijn. We nemen het stukje tussen 0 en 1. Wat zit hier in de getallenwereld nog tussen? Nou, verrassend veel: namelijk oneindig veel! Je had het misschien al verwacht, maar met elk natuurlijk getal dat je kunt maken (dus 2, 16, maar ook 145, 589, en 1576, etc.), kun je een breuk construeren. Namelijk door een 1 te noteren, vervolgens een breukstreep, en na de breukstreep elk natuurlijk getal dat je maar wilt. Dus bijvoorbeeld 1/2, 1/16, 1/145, etc. Nu ligt 1/2 precies tussen 0 en 1 in op onze getallenlijn, maar bij elk volgende natuurlijk getal na de breukstreep geldt: hoe groter dat getal, des te dichter ligt die breuk op de getallenlijn bij de 0. Maar stel dat je vanaf 1/2 terug wilt naar de 0, en je gaat op de beschreven manier te werk: eerst neem je 1/3, dan 1/4, dan 1/5, tot je aangekomen bent bij 1/768.563.143. Nog altijd ben je niet bij de 0 aangekomen! En ik kan je verklappen (je had het vast zelf ook al bedacht): dat gaat ook nooit gebeuren…
Natuurlijk zijn er ook andere breuken te construeren. Feitelijk kun je zelfs elk willekeurig geheel getal boven en onder de breukstreek zetten (alleen 0 mag niet ónder de breukstreep staan!). Zo heb je 2/3 en 5/7, maar ook 22/5 en -6/1 en 0/34. Het leuke is nu dat je alle gehele getallen ook kunt construeren met behulp van deze breuken: 2/2 is gewoon 1, 9/3 is 3, etc. Wat kunnen we hieruit concluderen? Dat alle gehele getallen besloten liggen in de verzameling rationale getallen (dat wil zeggen: alle breuken). Als je hier even over nadenkt kun je al bijna helemaal gek worden, want omdat we net gezien hebben dat er tussen twee willekeurige gehele getallen oneindig veel breuken liggen, en we al wisten dat er ook oneindig veel gehele getallen zijn, zouden we willen concluderen dat er oneindig veel méér breuken zijn dan gehele getallen (alleen tussen 0 en 1 liggen al oneindig veel breuken, laat staan tussen 0 en 1000). Echter, van breuken zowel als natuurlijke getallen zijn er oneindig veel, dus wat maakt dat nu nog uit? Hooguit kunnen we zeggen dat de gehele getallen dunner bezaaid zijn dan de rationale getallen. Maar kun je dat eigenlijk wel zeggen?
Het wordt echter nog veel gekker, want wat blijkt? Als je tussen bijvoorbeeld 0 en 1 van breuk naar huppelt op de getallenlijn, dan sla je steeds een stukje ruimte over. De gehele getallen mogen dan dun bezaaid zijn, de breuken zijn dat feitelijk ook! Want niet elke hoeveelheid kan worden uitgedrukt in een breuk. Neem de beroemde “wortel van 2”. Dit is wat je noemt een irrationaal getal, en die valt niet uit te drukken in een breuk. Wél in een oneindig lange reeks decimalen (dus je kunt op papier alleen maar een benadering geven: 1,41421…). Ga nu tussen twee breuken in staan op de getallenlijn en je vindt nog oneindig veel van deze irrationale getallen die tussen die twee breuken in liggen.
De rationale en irrationale getallen worden samen de reële getallen genoemd. De verzameling van reële getallen bestaat dus uit alle getallen die op de getallenlijn te vinden zijn. En je raadt het al: het zijn er oneindig veel! Maar vergeleken met de genoemde decimale getallen zijn de breuken weer erg dun bezaaid. Je zou dus zeggen dat er veel méér irrationale getallen zijn dan rationale getallen…

Deze inleiding getallenleer is natuurlijk verre van volledig, maar het geeft aan welke enorme vergezichten zich soms ontvouwen als je je bezighoudt met wiskunde. Is het niet verbazingwekkend hoeveel zich nog bevindt tussen die twee natuurlijke getallen 0 en 1 waar we mee begonnen? En zou het niet vreselijk zijn om bij 0 te moeten beginnen en met de kleinst mogelijke stapjes naar 1 te lopen? Je zou er nooit komen, zó veel getallen kom je nog tegen op je reis! Het is werkelijk een wonder dat je ondanks dit alles nog gewoon grafiekjes kunt tekenen en sommetjes kunt maken. Ook je grafische rekenmachine doet alsof zijn neus bloedt. Hij trekt zich niks aan van de oneindige hoeveelheid getallen tussen 0 en 1, maar heeft met 3 pixels op zijn schermpje die afstand al overbrugd!